فروشگاه اینترنتی فایل ها این وبلاگ در زمینه فروش انواع مختلف فایل های آموزشی تحصیلی و دانشگاهی فعالیت می نماید

محاسبه ضریب کشیدگی جامدات با استفاده از مکانیک آماری تعادلی

 چکیده

مدول بالک یکی از مهم‌ترین خواص جامدات است. بر این اساس ما، رویکرد مکانیک آماری را بر اساس معادله‌ای که ما را قادر به محاسبه مدول بالک برای جامدات با کمترین داده‌ها می‌کند، گسترش دادیم.در مدل ما ارتباط بین پارامتر گرون آیزن و تابع پارش گسترش داده‌شده است.ما به این موضوع پی بردیم که حجم وابسته به پارامتر گرون آیزن برای تخمین مدول بالک حیاتی است. نتایج برای ساختار تنگ پکیده(hcp) بسیار خوب و متناسب با اندازه‌گیری‌ها است. این چارچوب می‌تواند برای دیگر عناصر جامدات یا ترکیبات متنوع گسترش داده شود.

واژه‌های کلیدی

مکانیک آماری، پارامتر گرون آیزن، پارامتر حالت، مدول بالک، تابع پارش بندادی.

 فصل اول

1-1مقدمه. 2

1-2انرژی آزاد هلمهولتز. 2

1-3معادله‌های اساسی ترمودینامیک. 4

1-4فشار معادله حالت. 5

1-5دیدگاه ماکروسکوپیک. 6

1-6دیدگاه میکروسکوپیکی. 8

1-7مقایسه دیدگاه‌های ماکروسکوپیکی و میکروسکوپیکی. 10

فصل دوم

2-1مدول الاستیک. 13

2-2مدول یانگ. 13

2-3مدول برشی. 14

4-2مدول حجمی...................................................................................................... ................................................................................ 14

2-5کاربرد مدول یانگ. 14

2-6مواد خطی و غیر خطی. 14

2-7مواد جهت دار. 15

2-8تعریف سختی. 15

2-9ارتباط سختی با الاستیسیتی. 15

2-10موارد استفاده مدول در مهندسی. 16

2-11نظریه انیشتین در مورد گرمای ویژه بلورها. 16

2-12نظریه دبای در مورد ظرفیت گرمایی بلورها. 20

2-13تابع توزیع. 24

2-14تقریب میدان میانگین. 28

فصل سوم

3-1پارامترگرون آیزن. 32

3-2تئوری.................................................................................................................. ........................................................................................... 34

3-3روش کار........................................................................................................... 37

فصل چهارم

4-1بحث ونتایج. 39

4-2نتیجه گیری. 46

منابع.......................................................................................................................... ................................................................................................. 48

شکل ‏2‑1 شکل ظرفیت گرمایی نقره17

شکل ‏2‑2 مقایسه ظرفیت گرمایی تجربی الماس با مقدار پیش‌بینی شده انیشتین19

شکل ‏2‑3تابع توزیع شعاعی برای پتانسیل لنارد جونز26

شکل ‏3-1نمای کلی از محاسبات عددی انجام شده جهت محاسبه مدول حجمی37

شکل ‏4‑1منحنی مدول بالک برحسب چگالی40

شکل ‏4‑2 منحنی چگالی وابسته به پارامتر گرون آیزن41

شکل ‏4‑3منحنی دمای دبای برحسب چگالی43

جدول‏1-4ارتباط بین خروجی ما و نتایج اندرسون44

جدول‏4-2 تصحیح کوانتومی مدول حجمی45

 فصل اول

 1-1 مقدمه

در عصر حاضر پی بردن به خواص ترمودینامیکی مواد یکی از مهم‌ترین دغدغه‌های دانشمندان به‌خصوص فیزیکدانان و شیمیدانان است و این مهم از ابتدای تحقیقات علمی تاکنون وجود داشته است.

بعلاوه ما همیشه به دنبال روش‌های آسان برای پی بردن به این خواص هستیم چراکه روش‌های آزمایشگاهی بسیار زمان‌بر و پرهزینه هستند.در این پایان‌نامه سعی شده است که با استفاده از ابزار مکانیک آماری به روشی آسان برای محاسبه و تخمین مدول بالک جامدات دست‌یابیم. در آخر نتایج خود را با داده‌های آزمایشگاهی مقایسه می‌کنیم. انشاا... که مطالب این پایان‌نامه مفید و مورداستفاده قرار گیرد.

1-2انرژی آزاد هلمهولتز[1]

از انرژی آزاد هلمهولتز F میتوان برای به دست آوردن فشار P یک جامد استفاده کرد. برای تعداد زیادی از جامدات در سرامیک‌ها و ژئوفیزیک ،F دارای سه بخش است:

(1-1)

که پتانسیل یک شبکه ایستا در صفر مطلق است، انرژی ارتعاشی به دلیل حرکت اتم‌ها به‌طوری‌که هر یک مجبور به ارتعاش اطراف نقطه شبکه‌اند و پتانسیل ناشی از الکترون‌ها است. در بعضی جامدات، پتانسیل‌های دیگری از قبیل مغناطیس کنندگی و اثرات اپتیکی سهیم‌اند ولی در این کار این پتانسیل‌ها مهم نیستند زیرا تا حد زیادی به نارساناها وابسته‌اند.

تعداد زیادی از مواد معدنی عایق‌اند، در چنین مواردی را می‌توان نادیده گرفت اما در مورد آهن نباید نادیده گرفته شود. در اینجا سه تابع ترمودینامیکی وجود دارد که به‌وسیله آن P و V به دیگر متغیرهای ترمودینامیکی ربط داده می‌شود.

انرژی آزاد هلمهولتز

(2-1)

انرژی گیبس[2]

(3-1)

آنتالپی[3]

(4-1)

که آنتروپی[4]، انرژی داخلی، آنتالپی است. گاهی اوقات و انرژی‌های آزاد نامیده می‌شوند. در سیستم‌های ترمودینامیکی که حجم و دما متغیرهای مستقل‌اند رابطه (2-1) مناسب است، درنتیجه انرژی آزاد هلمهولتز برای بسیاری از مشتقات به‌کارگیری خواهد شد.از طرفی دستگاه بیشتر از مقدار کاری که در فرآیند همدما انجام می‌دهد انرژی آزاد هلمهولتز از دست می‌دهد. به نحو مشابه تغییر انرژی آزاد گیبس دستگاه به مراتب بیشتر از کار غیر فشار حجمی است که در دما و فشار ثابت انجام می‌شود.معادله حالت فشار برحسب متغیرهای و به شکل روبرو تعریف می‌شود: (5-1) معادله حالت از به دست خواهد آمد. به‌ویژه در معادله (5-1) همچون معادله حالت ،سهم دگرشکلی را برای را در نظر نمی‌گیریم، به این دلیل که نادیده گرفتن سهم دگرشکلی قابل توجیه است زیرا فشار در قیاس با تنش برشی بزرگ‌تر است.

1-3معادله‌های اساسی ترمودینامیک

برحسب ، معادله‌های اساسی ترمودینامیک به‌صورت زیر هستند:

که ظرفیت گرمایی ویژه در حجم ثابت است ، مدول حجمی ، ضریب انبساط حجمی است. فشار به‌صورت زیر داده می‌شود:

همچنین را برحسب(10-1) و (11-1) به‌صورت زیر است:

4-1فشار معادله حالت

برای یک نارسانا از و که انرژی گرمایی و انرژی ارتعاشی دمای صفر است. که یک‌ترم کوچک ناشی از مکانیک کوانتومی است که بیان مناسب‌تر برای که در آن اثرات و اثرات گرمایی به‌صورت واضح جداشده‌اند به‌صورت زیر است:

که بیان‌گر صفر مطلق است. با استفاده از معادله (9-1)و(14-1) داریم :

بر اساس معادله (5-1)و(15-1) ، یک تابع و به‌جز در صفر مطلق که است.در اینجا از معادله (15-1) همچون یک تعریف استاندارد برای جامدات دی‌الکتریک بدون الکترون آزاد استفاده می‌کنیم:

و فرمول پایه زیر را داریم :

فرض کنید به‌وسیله متغیر بدون بعد جایگزین شود، که اغلب اتساع نامیده می‌شود،،که در اینجا فشردگی(تراکم) نامیده می‌شود، که زیرنویس صفر نشان‌دهنده در فشار صفر است. صورت دیگر معادله (17-1)به‌صورت زیر است:

برای یک فلز در دمای بالا، همچون آهن در هسته زمین، یک جمله، باید به معادله(18-1) اضافه شود به این دلیل که انرژی آزاد الکترون‌ها ( در1 )مهم می‌شود[1].

5-1 دیدگاه ماکروسکوپیک

مطالعه هر شاخه از فیزیک با جدا کردن ناحیه محدودی از فضا یا قسمت محدودی از ماده از محیط آن آغاز می‌شود. قسمت برگزیده که موردتوجه قرار می‌گیرد، سیستم، و هرچه که در خارج آن قرار دارد و در نحوه رفتار آن نقش مستقیم دارد، محیط خوانده می‌شود. وقتی یک سیستم انتخاب شد، قدم بعدی توصیف آن برحسب کمیت‌هایی است که به رفتار سیستم یا برهم‌کنش‌های آن با محیط، یا هر دو مربوط‌اند. به‌طورکلی دو دیدگاه وجود دارد که پذیرفتنی است، دیدگاه ماکروسکوپیکی و دیدگاه میکروسکوپی.

برای توصیف ماکروسکوپیکی یک سیستم مثل مواد داخل یک سیلندر موتور اتومبیل از چهار کمیت که عبارت‌اند از ترکیب، حجم، فشار، دما استفاده می‌شود.این کمیت‌ها به مشخصات کلی، یا خواص بزرگ‌مقیاس سیستم مربوط می‌شوند و مبنای توصیف ماکروسکوپیکی سیستم را تشکیل می‌دهند. لذا این کمیت‌ها، مختصات ماکروسکوپیکی خوانده می‌شوند. کمیت‌هایی که برای توصیف ماکروسکوپیکی سایر سیستم‌ها باید مشخص شوند،البته، متفاوت‌اند، ولی مختصات ماکروسکوپیکی عموماً دارای ویژگی‌های مشترک زیر می‌باشند:

1. هیچ‌گونه فرض خاصی درباره ساختار ماده در برندارند.
2. تعداد آن‌ها کم است.
3. آن‌ها را کم‌وبیش مستقیماً با حواس خود درمی‌یابیم.
4. عموماً می‌توان آن‌ها را مستقیماً اندازه‌گیری کرد.

تأکید می‌کنیم که دیدگاه ترمودینامیک کلاسیک، کاملاً ماکروسکوپیکی است. قانون اول ترمودینامیک، عبارت از رابطه‌ای است بین کار، انرژی داخلی و گرما که کمیت‌های اساسی فیزیک هستند. وقتی‌که قانون اول در مورد رده‌ای از سیستم‌ها به کار می‌رود، یک رابطه کلی به دست می‌آید که در مورد هر عضوی از رده برقرار است اما شامل هیچ کمیت با ویژگی که متعلق به یک سیستم خاص باشد و آن را از دیگران متمایز سازد، نیست. مثلاً معادله روبه‌رو برای تمام سیستم‌های هیدروستاتیکی، اعم از جامد، مایع و یا گاز برقرار است. این معادله ما را قادر می‌سازد تا یک سیستم هیدروستاتیکی را، به‌شرط دانستن انرژی داخلی برحسب تابعی از و ، محاسبه کنیم. گرمای منتقل‌شده در طی یک فرایند هم‌حجم را که عبارت است از:

می‌توان هنگامی‌که یک سیستم خاص موردنظر برحسب معلوم است، محاسبه کرد. اما در ترمودینامیک کلاسیک چیزی وجود ندارد که اطلاعات تفصیلی در مورد و در اختیارمان بگذارد.

یک مثال دیگر از محدودیت ترمودینامیک کلاسیک، ناتوانی آن در به دست آوردن معادله حالت یک سیستم مطلوب است. برای استفاده هر معادله ترمودینامیکی که شامل و و و مشتقات آن‌ها ، ، است، باید یک معادله حالت داشته باشیم. مقادیر تجربی، اغلب اوقات مفیدند، ولی در مواردی وجود دارند که انجام آزمایش‌های ضروری، عملی نیست.

6-1دیدگاه میکروسکوپیکی

برای به دست آوردن اطلاعات دقیق راجع به مختصات ترمودینامیکی و ویژگی‌های گرمایی سیستم‌ها، بدون اینکه مجبور باشیم به‌اندازه‌گیری‌های تجربی متوسل شویم، نیاز به محاسباتی داریم که مبتنی بر ویژگی‌ها و رفتار مولکول‌های سیستم باشند. دو فرضیه میکروسکوپی وجود دارد؛ یکی نظریه جنبشی، و دیگری مکانیک آماری. هر دو فرضیه، مولکول‌ها، حرکت داخلی و خارجی آن‌ها با یکدیگر و با دیواره‌های موجود و نیروهای برهم‌کنش آن‌ها را موردبحث قرار می‌دهند. با استفاده از قوانین مکانیک و نظریه احتمالات، نظریه جنبشی به جزئیات حرکت و برخورد مولکولی می‌پردازد و قادر است وضعیت‌های ناپایدار زیر را بررسی کند:

1. مولکول‌هایی که از روزنه موجود در یک ظرف به خارج می‌گریزند و فرایند موسوم به برون پخشی را به وجود می‌آورند.
2. مولکول‌هایی که در یک لوله در اثر اختلاف فشار حرکت می‌کنند، و جریان آرام لایه‌ای را به وجود می‌آورند.
3. مولکول‌هایی که دارای اندازه حرکت‌اند و از یک صفحه عبور می‌کنند و با مولکول‌هایی که اندازه حرکتشان کمتر است مخلوط می‌شوند. این فرایند مولکولی عامل چسبندگی است.
4. مولکول‌هایی که دارای انرژی جنبشی‌اند و از یک صفحه عبور می‌کنند و با مولکول‌هایی که انرژی کمتری دارند مخلوط می‌شوند. این فرایند عامل رسانش گرماست.
5. مولکول‌های همنوعی که از یک صفحه عبور می‌کنند و با مولکول‌هایی از نوع دیگر مخلوط می‌شوند. این فرایند مرسوم به پخش است.
6. ترکیب شیمیایی بین دو یا تعداد بیشتری از انواع مولکول‌ها، که با سرعت محدودی صورت می‌گیرد و به سینتیک شیمیایی معروف است.
7. عدم‌تساوی برخوردهای مولکولی با وجوه مختلف یک جسم خیلی کوچک که در یک سیال معلق است. این عدم‌تساوی باعث می‌شود که جسم معلق حرکت زیگزاگی اتفاقی داشته باشد که به حرکت براونی مرسوم‌اند

در مکانیک آماری از پرداختن به جزئیات مکانیکی مربوط به حرکت‌های مولکولی اجتناب شده است، و فقط جنبه‌های انرژی مولکول‌ها در نظر گرفته می‌شوند. مکانیک آماری تا حد زیادی به نظریه احتمالات متکی است ولی ازنظر ریاضی ساده‌تر از نظریه جنبشی است، اگرچه درک آن مشکل‌تر است. فقط حالت‌های تعادل قابل‌بررسی هستند، اما به‌گونه‌ای یکنواخت و مستقیم به‌طوری‌که وقتی ترازهای انرژی مولکول‌ها و یا سیستم‌هایی از مولکول‌ها شناخته می‌شوند می‌توان‌ یک برنامه محاسباتی به اجرا درآورد که از طریق آن، معادله حالت، انرژی و سایر توابع ترمودینامیکی به دست آیند.

ازنظر مکانیک آماری، یک سیستم متشکل است از تعداد بسیار زیادی مولکول، ، که هرکدام از این مولکول‌ها می‌تواند در مجموعه‌ای از حالت‌هایی که انرژی آن‌ها مساوی ₁ԑ ، ₂ԑ و... است، قرار گیرد. فرض بر این است که مولکول‌ها در اثر برخورد یا توسط نیروهایی که به‌وسیله‌ میدان ایجادشده‌اند، با یکدیگر برهم‌کنش می‌کنند. سیستم مولکول‌ها را می‌توان به‌صورت منزوی در نظر گرفت و یا، در بعضی موارد، می‌توان فرض کرد که مجموعه‌ای از سیستم‌های مشابه، آن‌ها را در برگرفته‌اند. مفاهیم احتمالاتی به کار گرفته می‌شوند و فرض می‌شود که حالت تعادلی سیستم حالتی است که احتمال آن بیشینه است. مسئله اساسی تعداد مولکول‌ها در هر یک از حالت‌های انرژی مولکولی(که به جمعیت این حالت‌ها موسوم‌اند) را، به هنگام حصول تعادل بدانیم. توصیف میکروسکوپیکی یک سیستم شامل مشخصات زیر است:

1. فرض‌هایی درباره ساختار ماده، مثلاً وجود مولکول‌ها، می‌شود.
2. کمیت‌های زیادی باید مشخص شوند.
3. کمیت‌های مشخص‌شده توسط حواس ما دریافت نمی‌شوند.
4. این کمیت‌ها را نمی‌توان اندازه گرفت.

7-1 مقایسه دیدگاه‌های ماکروسکوپیکی و میکروسکوپیکی

اگرچه ممکن است این‌طور به نظر برسد که این دو دیدگاه بسیار متفاوت و با یکدیگر ناسازگارند، اما رابطه‌ای بین آن‌ها موجود است، و وقتی‌که هر دو دیدگاه در مورد یک سیستم به کار روند، باید نتیجه یکسانی به دست دهند.رابطه بین این دو دیدگاه در این واقعیت نهفته است که ویژگی‌های معدودی که مستقیماً قابل‌اندازه‌گیری هستند و مشخص کردن آن‌ها همان توصیف ماکروسکوپیکی سیستم است، درواقع میانگین‌های زمانی تعداد زیادی از مشخصه‌های میکروسکوپیکی در یک مدت‌زمان هستند. مثلاً، کمیت ماکروسکوپیکی فشار، عبارت است از میانگین آهنگ تغییرات اندازه حرکت ناشی از تمام برخوردهای مولکولی در واحد مساحت. باوجوداین، فشار خاصیتی است که توسط حواس ما قابل‌درک است. ما آثار فشار را احساس می‌کنیم. فشار خیلی پیش‌ازاین که فیزیک‌دانان دلیلی بر وجود برخوردهای مولکولی داشته باشند مورد تجربه و اندازه‌گیری و استفاده قرارگرفته بود. اگر نظریه مولکولی تغییر کند، مفهوم فشار کماکان باقی خواهد ماند و همان معنی معمولی خود را نزد تمام انسان‌ها خواهد داشت.

[1]Helmholtz Free energy

[2]Gibbs

[3]Enthalpy

[4]Entropy